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新数学丛书《连分数》 习题 3.7
阅读量:6308 次
发布时间:2019-06-22

本文共 947 字,大约阅读时间需要 3 分钟。

证明:若$a_1\neq 0$,则

\begin{equation}\label{eq:2367}
\frac{p_n}{p_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]
\end{equation}和
\begin{equation}\label{eq:9876}
\frac{q_n}{q_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2]
\end{equation}

 

证明:我们先证明\ref{eq:2367}.真是神奇,竟然都倒过来了.由递推公式,当$n\geq 3$时,

\begin{equation}

p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}
\end{equation}

因此

\begin{equation}
\frac{p_n}{p_{n-1}}=a_n+\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}
\end{equation}

设$\frac{p_n}{p_{n-1}}=k_n(n\geq 2)$,因此

\begin{equation}
k_n=a_n+\frac{1}{k_{n-1}}
\end{equation}
这样就证明了$k_n=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]$了(为什么?).

下面来证明\ref{eq:9876}.根据递推公式,当$n\geq 3$时,
\begin{equation}
q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\frac{q_n}{q_{n-1}}=a_n+\frac{q_{n-2}}{q_{n-1}}
\end{equation}
设$\frac{q_n}{q_{n-1}}=t_n(n\geq 2)$,因此
\begin{equation}
t_n=a_n+\frac{1}{t_{n-1}}
\end{equation}
因此也有$t_n=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_2]$.

 

 

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/24/3828093.html

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